Giải bài 18 trang 22 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
| \(a) y=2\sin^2 x+2\sin x-1\) | \(b)y=\cos^22x-\sin x\cos x+4\) |
Gợi ý:
Tập giá trị của \(\sin x\) và \(\cos x\) là \([-1;1]\)
Hướng dẫn:
Bước 1: Đặt \(\sin x=t\,\, (t\in [-1;1]) \,\, (\cos x=t)\)
Bước 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y=f(t)\) trên \([-1;1]\)
a)
Đặt \(\sin x=t\,\, (t\in [-1;1]) \)
Ta có:
\(f(t)=2t^2+2t-1\\ f'(t)=4t+2\\ f'(t)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac 1 2\in [-1;1]\)
Ta có:
\(f(-1)=-1;\,f\left(-\dfrac 1 2\right)=-\dfrac 3 2;f(1)=3\)
Vậy:
\(\begin{align} & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( t \right)=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Min}}\,y=-\dfrac{3}{2} \\ & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( t \right)=3\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Max}}\,y=3 \\ \end{align} \)
b)
Ta có:
\(y=\cos^2 2x-\sin x\cos x+4\\=\cos^2 2x-\dfrac 1 2 \sin 2x+4\\=-\sin^2 2x-\dfrac 1 2\sin 2x+5\)
Đặt \(t=\sin 2x, -1\le t \le 1\)
\(y=f(t)=-t^2-\dfrac 1 2 t +5\\ f'(t)=2t-\dfrac 1 2\\ f'(t)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac 1 4 \in [-1;1]\)
Ta có:
\(f(-1)=\dfrac 9 2;f\left(-\dfrac 1 4\right)=\dfrac {81}{16};f(1)=\dfrac 7 2\)
Vậy
\(\begin{align} & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( t \right)=\dfrac{7}{2}\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Min}}\,y=\dfrac{7}{2} \\ & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( t \right)=\dfrac{81}{16}\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Max}}\,y=\dfrac{81}{16} \\ \end{align} \)