Giải bài 21 trang 22 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

a)

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(f'(x)=\dfrac{x^2+1-x.2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\\ f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=1 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right. \)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1; f(-1)=-\dfrac 1 2\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1;f(1)=\dfrac 1 2\)

b) 

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\)

\(f'(x)=\dfrac{3x^2(x+1)-x^3}{(x+1)^2}=\dfrac{2x^3+3x^2}{(x+1)^2}\)

\(f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=-\dfrac 3 2\\ \end{aligned} \right. \)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số không có cực đại và đạt cực tiểu tại điểm \(x=\dfrac {-3} 2; f\left(-\dfrac 3 2\right)=\dfrac{27}4\)

c)

TXĐ: \(D=[-\sqrt 5; \sqrt 5]\)

\(f'(x)=-\dfrac{2x}{2\sqrt{5-x^2}}\\ f'(x)=0\Rightarrow x=0\)

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=0;f(0)=\sqrt 5\)

d)

TXĐ: \(D=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\)

\(f'(x)=1+\dfrac x {\sqrt {x^2-1}}\,\,\, (x\in (-\infty;-1)\cup (1;+\infty))\)

\(f'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{x^2-1}=-x\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\le-1 \\ & x^2-1=x^2 \\ \end{aligned} \right.\,\,\, (\text{vô nghiệm}) \)

Bảng biến thiên

Hàm số không có cực trị.

Ghi nhớ:

Để tìm cực trị của hàm số ta thực hiện:

1. Tìm \(f'(x)\)

2. Tìm các điểm \(x_i\), tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Kết luận.

Lưu ý:

Để xét dấu của hàm số trên một khoảng (trên bảng biến thiên) ta có thể tính giá trị của hàm số tại một điểm thuộc khoảng đó.