Giải bài 58 trang 56 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
\(y=\dfrac{2x-1}{x+1}\)
b) Với các giá trị nào của m, đường thẳng \(d_m\) đi qua điểm \(A(-2;2)\) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho
+) Tại hai điểm phân biệt?
+) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?
a)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-1\}\)
Giới hạn:
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=2 \) nên \( y=2\) là tiệm cận ngang
\(\lim\limits_{x\to -{{1}^{-}}}\,y=+\infty ;\lim\limits_{x\to -{{1}^{+}}}\,y=-\infty \) nên \(x=-1\) là tiệm cận đứng
Biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right) \)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Hàm số giao Ox tại điểm \(\left( \dfrac{1}{2};0 \right)\) và giao Oy tại điểm \( \left( 0;-1 \right)\)
Hàm số nhận điểm \(I\left( -1;2 \right)\) là tâm đối xứng
b)
Đường thẳng (\(d_m\)) qua điểm \(A(-2;2)\) có hệ số góc m là \(y-2=m(x+2) \)
Hoành độ giao điểm của đường thẳng (\(d_m\)) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:
\(\begin{aligned} & mx+2m+2=\dfrac{2x-1}{x+1} \\ & \Leftrightarrow \left( mx+2m+2 \right)\left( x+1 \right)=2x-1 \\ & \Leftrightarrow m{{x}^{2}}+3mx+2m+3=0\,\,\,\left( 1 \right) \\ \end{aligned}\)
+) Đường thẳng (\(d_m\)) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt tức là:
\(\left\{ \begin{aligned} & m\ne 0 \\ & \Delta ={{m}^{2}}-12m>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m<0 \\ & m>12 \\ \end{aligned} \right.\)
+) Hai nhánh của đồ thị nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng \(x=-1\) của đồ thị.
Đường thẳng (\(d_m\)) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm \(x_1;x_2\) thỏa mãn \( {{x}_{1}}<-1<{{x}_{2}}\)
\(\begin{aligned} & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{1}}+1<0 \\ & {{x}_{2}}+1>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)<0 \\ & \Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2m+3}{m}-\dfrac{3m}{m}+1<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{3}{m}<0\Rightarrow m<0 \\ \end{aligned}\)
Vậy với \(m < 0\) thì (\(d_m\)) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.