Giải bài 65 trang 58 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
\(y=\dfrac{2x^2-x+1}{x-1}\)
b) Với giá trị nào của m đường thẳng \(y=m-x\) cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm phân biệt?
c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.
a)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,=-\infty ;\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,y=+\infty\) nên \(x=1\) là tiệm cận đứng
\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y-2x-1 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2}{x-1}=0\) nên \(y=2x+1\) là tiệm cận xiên
\(\begin{aligned} & y'=2-\dfrac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}-1 \right]}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x-1=1 \\ & x-1=-1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=2 \\ & x=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \( \left( -\infty ;0 \right) \) và \( \left( 2;+\infty \right) \), nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;2 \right) \)
Hàm số đạt cực đại tại \((0;-1)\) và cực tiểu tại \((2;7)\)
Đồ thị:
Hàm số đi qua điểm \((0;-1)\) và \((2;7)\)
Hàm số nhận \( I(1;3)\) là tâm đối xứng
b)
Xét phương trình hoành độ giao điểm
\(\begin{align} & \dfrac{2{{x}^{2}}-x+1}{x-1}=m-x \\ & \Rightarrow 2{{x}^{2}}-x+1=\left( m-x \right)\left( x-1 \right) \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-x+1=mx-m-{{x}^{2}}+x \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+1+m=0\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\)
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác \(-1\) tức là:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & \Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}-12\left( 1+m \right)>0 \\ & 3{{\left( -1 \right)}^{2}}-\left( m+2 \right)\left( -1 \right)+1+m\ne 0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{m}^{2}}-8m-8>0 \\ & 6\ne 0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m<4-2\sqrt{6} \\ & m>4+2\sqrt{6} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
c)
Gọi \(A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right);\,B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)\)
Ta có: trung điểm M của AB có tọa độ \(M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)\) với \({{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=\dfrac{m+2}{6}\)
Vì M thuộc đường thẳng \(y=m-x\) nên ta có:
Ta có:
\(\left\{ \begin{align} & {{x}_{M}}=\dfrac{m+2}{6} \\ & {{y}_{M}}=\dfrac{5m-2}{6} \\ \end{align} \right.\Rightarrow 5{{x}_{M}}-{{y}_{M}}=2\Leftrightarrow {{y}_{M}}=5{{x}_{M}}-2\)
Vậy M luôn thuộc đường thẳng \(y=5x-\)2
Mặt khác ta có:
\(\begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & m<4-2\sqrt{6} \\ & m>4+2\sqrt{6} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 6{{x}_{M}}-2<4-2\sqrt{6} \\ & 6{{x}_{M}}-2>4+2\sqrt{6} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{x}_{M}}<1-\dfrac{\sqrt{6}}{3} \\ & {{x}_{M}}>1+\dfrac{\sqrt{6}}{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Vậy tập hợp các trung điểm AB là phần của đường thẳng \(y=5x-2\) với \( \left[ \begin{align} & {{x}_{M}}<1-\dfrac{\sqrt{6}}{3} \\ & {{x}_{M}}>1+\dfrac{\sqrt{6}}{3} \\ \end{align} \right.\)