Giải bài 62 trang 57 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
\(y=\dfrac{x-1}{x+1}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó
a)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }-1\}\)
Giới hạn:
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=1\) nên \(y=1\) là tiệm cận ngang
\(\lim\limits_{x\to -{{1}^{-}}}\,y=+\infty ;\lim\limits_{x\to -{{1}^{+}}}\,y=-\infty\) nên \(x=-1\) là tiệm cận đứng
Biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \( \left( -1;\infty \right)\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Hàm số giao Ox tại điểm \(\left( 1;0 \right)\) và giao Oy tại điểm \(\left( 0;-1 \right)\)
b)
Công thức chuyển hệ tọa độ theo phép tính tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) là \(\left\{ \begin{aligned} & x=X-1 \\ & y=Y+1 \\ \end{aligned} \right. \)
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ IXY là:
\(Y+1=\dfrac{X-1-1}{X-1+1}\Leftrightarrow Y+1=\dfrac{X-2}{X}\Leftrightarrow Y=-\dfrac 2 X\)
Hàm số trên là hàm lẻ nên nhận điểm \(I\left( -1;1 \right)\) là tâm đối xứng