Giải bài 63 trang 57 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số
\(y=\dfrac{x+2}{2x+1}\)
b) Chứng minh rằng đường thẳng \(y=mx+m-1\) luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.
c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H)
a)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{\dfrac{-1}2\right\}\)
Giới hạn:
\(\lim\limits_{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\dfrac 1 2\) nên \(y=\dfrac 1 2\) là tiệm cận ngang
\(\lim\limits_{x\to -{{\frac 1 2}^{-}}}\,y=-\infty ;\lim\limits_{x\to -{{\frac 1 2}^{+}}}\,y=+\infty\) nên \(x=-1\) là tiệm cận đứng
Biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-\dfrac 1 2 \right)\) và \( \left( -\dfrac 1 2;\infty \right)\)
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Hàm số giao Ox tại điểm \(\left( -2;0 \right)\) và giao Oy tại điểm \(\left( 0;2 \right)\)
Hàm số nhận điểm \(I\left( -\dfrac 1 2;\dfrac 1 2 \right)\) là tâm đối xứng
b)
Ta có: \(y=mx+m-1\Leftrightarrow y+1=m(x+1)\)
Tọa độ điểm A cố định mà đường thẳng luôn đi qua là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{aligned} & x+1=0 \\ & y+1=0\\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} & x=-1\\ & y=-1 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy điểm A có tọa độ \((-1;-1)\)
Lại có: \(\dfrac{-1+2}{2.(-1)+1}=-1\) nên A thuộc đường cong (H)
c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm của phương trình:
\(m(x+1)-1=\dfrac{x+2}{2x+1}\\ \Leftrightarrow m(x+1)(2x+1)-(2x+1)=x+2\\ \Leftrightarrow m(x+1)(2x+1)-x-1=0\\ \Leftrightarrow (x+1)(2mx+m-3)=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1 \\ & 2mx+m-3=0\,\,\,(1)\\ \end{aligned} \right. \)
Ta có: A(-1;-1) là giao điểm của đường thẳng và đường cong (H)
Mà \(-1<-\dfrac 1 2 \) nên A thuộc nhánh trái của (H).
Để đường thẳng cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H) khi (1) có nghiệm \(x<-\dfrac 1 2,\,x\ne -1\)
Tức là \(\left\{ \begin{aligned}&m\ne 0\\ & \dfrac{3-m}{2m}<-\dfrac 1 2 \\ & f(-1)\ne 0\\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} &m\ne 0 \\& \dfrac 3 {2m}< 0 \\ & -m-3\ne 0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left[ \begin{aligned} & m< -3 \\ &-3< m<0 \\ \end{aligned} \right. \)