Giải bài 60 trang 56 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số \(f(x)=\dfrac{x^2}2+\dfrac 3 2x\) và \(g(x)=\dfrac{3x}{x+2}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó.
Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\dfrac{3x}{2}=\dfrac{3x}{x+2} \\ & \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\dfrac{3x}{2} \right)'=\left( \dfrac{3x}{x+2} \right)' \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}\left( x+2 \right)+3x\left( x+2 \right)=6x \\ & x+\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{3}}+5{{x}^{2}}=0 \\ & 2x{{\left( x+2 \right)}^{2}}+3{{\left( x+2 \right)}^{2}}=12 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=-5\,\,\left( l \right) \\ \end{aligned} \right. \\ & 2x{{\left( x+2 \right)}^{2}}+3{{\left( x+2 \right)}^{2}}=12 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất nên hai đường cong tiếp xúc với nhau tại (0;0)
Phương trình tiếp tuyến của hai đường cong là: \(y=\dfrac{3}{2}x\)