Giải bài 66 trang 58 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Tìm các hệ số a và b sao cho parabol \(y=2x^2+ax+b\) tiếp xúc với \(y=\dfrac 1 x\) tại điểm \(M\left(\dfrac 1 2;2\right)\)
Đặt: \(f\left( x \right)=y=2{{x}^{2}}+ax+b\); \(g\left( x \right)=y=\dfrac{1}{x}\)
\(f'(x)=4x+a;\,\,g'(x)=-\dfrac 1{x^2}\)
Parabol \(f\left( x \right)=y=2{{x}^{2}}+ax+b\) tiếp xúc với \(g\left( x \right)=y=\dfrac{1}{x}\) tại \(M\left( \dfrac{1}{2};2 \right)\) khi:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & f\left( \dfrac{1}{2} \right)=g\left( \dfrac{1}{2} \right)=2 \\ & f'\left( \dfrac{1}{2} \right)=g'\left( \dfrac{1}{2} \right) \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{1}{2}+\dfrac{a}{2}+b=2 \\ & 4.\dfrac{1}{2}+a=-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a+2b=3 \\ & a+2=-4 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-6 \\ & b=\dfrac{9}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Ghi nhớ:
Đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\) tiếp xúc với nhau tại tiếp điểm có hoành độ là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{aligned} & f(x)=g(x) \\ & f'(x)=g'(x) \\ \end{aligned} \right. \)