Giải bài 13 trang 148 – SGK môn Giải tích lớp 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a) \(y={{x}^{2}}+1,\,x=-1,x=2\) và trục hoành;
b) \(y=\ln x,\,x=\dfrac{1}{e},\,x=e\) và trục hoành.
Gợi ý:
Áp dụng công thức: \(S=\int\limits_{a}^{b}{f(x) dx}\)
a) Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(\begin{aligned} S&=\int\limits_{-1}^{2}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)dx} \\ & =\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\ -1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 2 \\ \\ \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{8}{3}+2+\dfrac{1}{3}+1 \\ & =6\,(\text{đvdt}) \\ \end{aligned} \)
b) Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(S=\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\left| \ln x \right|dx} \\ =-\int\limits_{\frac{1}{e}}^{1}{\ln xdx}+\int\limits_{1}^{e}{\ln xdx} \)
Đặt \(\left\{ \begin{aligned} & \ln x=u \\ & dx=dv \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{dx}{x}=du \\ & v=x \\ \end{aligned} \right. \)
\(\begin{aligned} & S=-x\ln x\left| _{\frac{1}{e}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \\\\ \\ \end{smallmatrix}}+ \right.\int\limits_{\frac{1}{e}}^{1}{dx}+x\ln x\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} e \\ \\ \\ \end{smallmatrix}} \right.-\int\limits_{1}^{e}{dx} \\ & =-\dfrac{1}{e}+x\left| _{\frac{1}{e}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \\ \\ \end{smallmatrix}} \right.+e-x\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} e \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =e-\dfrac{1}{e}+1-\dfrac{1}{e}-e+1 \\ & =2-\dfrac{2}{e}\,(\text{đvdt}) \\ \end{aligned} \)