Giải bài 5 trang 146 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn:

a) Hàm số đạt cực trị bằng \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x = 1\) nếu \(\left\{ \begin{aligned} & y'\left( 1 \right)=0 \\ & y\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2} \\ \end{aligned} \right.\)

c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\) có dạng: \(y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0\)

a) Tập xác định \(D=\mathbb{R}\)

\(y'=4{{x}^{3}}+2ax\)

Hàm số đạt cực trị bằng \(\dfrac{3}{2}\)  khi \(x = 1.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & y'\left( 1 \right)=0 \\ & y\left( 1 \right)=\dfrac{3}{2} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 4+2a=0 \\ & a+b=\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-2 \\ & b=\dfrac{5}{2} \\ \end{aligned} \right. \)

b) Với \( a=-\dfrac{1}{2},\,b=1\) ta có \(y={{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+1\)

* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=4{{x}^{3}}-x \\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\pm \dfrac{1}{2} \\ & x=0 \\ \end{aligned} \right. \)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\dfrac{1}{2}; \,0\right)\) và \(\left(\dfrac{1}{2}; \,+\infty\right)\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty; \,-\dfrac{1}{2}\right)\) và \(\left(0;\,\dfrac{1}{2}\right)\).

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại \({x}=0;{{y}_{CĐ}}=1\).

Hàm số đạt cực tiểu tại \({{x}}=\pm \dfrac{1}{2};\,{{y}_{CT}}=\dfrac{15}{16} \).

+) Giới hạn

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( {{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+1 \right)=+\infty\)

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

c) Ta có \(y=1\Leftrightarrow {{x}^{4}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+1=1 \)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}-\dfrac{1}{2} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{aligned} \right.\)

\(y'=4{{x}^{3}}-x\)

Với \(x=0\Rightarrow y'\left( 0 \right)=0\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là \(y=1\)

Với \(x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow y'\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)=4.\dfrac{1}{2\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là \(y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( x-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)+1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}x+\dfrac{1}{2} \)

Với \(x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow y'\left( -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)=4.\dfrac{-1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là \(y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( x+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)+1=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}x+\dfrac{1}{2}\)