Giải bài 2 trang 145 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số
\(y=-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( a-1 \right){{x}^{2}}+\left( a+3 \right)x-4\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi (C) của hàm số khi a = 0.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng \(y=0,\,x=-1,\,x=1.\)
Gợi ý:
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y= f(x) và các đường \(y=0,\,x=-1,\,x=1\) là:
\(S=\int\limits_{-1}^{1}{\left| -\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x-4 \right|}dx\)
a) Với a = 0 thì \(y=-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x-4\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=-{{x}^{2}}-2x+3 \\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=1 \\ & x=-3 \\ \end{aligned} \right. \)
Hàm số đồng biến trên \((-3; \,1)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;\,-3)\) và \((1;\,+\infty)\).
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \({x}=-3;{{y}_{CĐ}}=-13 \).
Hàm số đạt cực tiểu tại \({{x}}=1;\,{{y}_{CT}}=-\dfrac{7}{3}\).
+) Giới hạn
\(\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( -\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x-4 \right)=-\infty \\ \,\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( -\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x-4 \right)=+\infty \)
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
b) Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(\begin{align} S&=\int\limits_{-1}^{1}{\left| -\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+3x-4 \right|}dx\\ &=\int\limits_{-1}^{1}{\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-3x+4 \right)}dx \\ & =\left( \dfrac{1}{12}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{x}^{2}}+4x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\ -1 \\\\ \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\\\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}+4-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}+4 \\ & =\dfrac{26}{3}\,\left( \text{đvdt} \right) \end{align} \)