Giải bài 15 trang 148 – SGK môn Giải tích lớp 12
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) \(\left( 3+2i \right)z-\left( 4+7i \right)=2-5i\);
b) \(\left( 7-3i \right)z+\left( 2+3i \right)=\left( 5-4i \right)z\);
c) \({{z}^{2}}-2z+13=0\);
d) \({{z}^{4}}-{{z}^{2}}-6=0\).
a) \(\left( 3+2i \right)z-\left( 4+7i \right)=2-5i\)
\(\begin{aligned} & \Leftrightarrow \left( 3+2i \right)z=6+2i \\ & \Leftrightarrow z=\dfrac{6+2i}{3+2i} \\ & \Leftrightarrow z=\dfrac{\left( 6+2i \right)\left( 3-2i \right)}{13} \\ & \Leftrightarrow z=\dfrac{22}{13}-\dfrac{6}{13}i \\ \end{aligned} \)
b) \(\left( 7-3i \right)z+\left( 2+3i \right)=\left( 5-4i \right)z\)
\(\begin{aligned} & \Leftrightarrow \left( 2+i \right)z=-2-3i \\ & \Leftrightarrow z=\dfrac{-2-3i}{2+i} \\ & \Leftrightarrow z=\dfrac{\left( -2-3i \right)\left( 2-i \right)}{5} \\ & \Leftrightarrow z=-\dfrac{7}{5}-\dfrac{4}{5}i \\ \end{aligned} \)
c) \({{z}^{2}}-2z+13=0\)
\(\begin{aligned} & \Delta '=1-13=-12=12{{i}^{2}} \\ & \Rightarrow z=1\pm 2i\sqrt{3} \\ \end{aligned} \)
d) \({{z}^{4}}-{{z}^{2}}-6=0\)
Đặt \({{z}^{2}}=t \) phương trình trở thành
\(\begin{aligned} & {{t}^{2}}-t-6=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=3 \\ & t=-2 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{z}^{2}}=3 \\ & {{z}^{2}}=-2 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=\pm \sqrt{3} \\ & z=\pm i\sqrt{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)