Giải bài 6 trang 146 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số \(y=\dfrac{x-2}{x+m-1}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ \(a\ne -1.\)
Hướng dẫn:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\) có dạng: \(y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0\)
a) Với m = 2 ta có \(y=\dfrac{x-2}{x+1} \)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=\dfrac{3}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0,\,\forall x\ne -1\)
Hàm số đồng biến trên \((-\infty;\,-1)\) và \((-1;\,+\infty)\).
Hàm số không có cực trị.
+) Tiệm cận
\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{x-2}{x+1}=1 \) nên đường \(y=1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}\,\dfrac{x-2}{x+1}=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\dfrac{x-2}{x+1}=+\infty\) nên đường \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
b) Với \(x=a\Rightarrow y=\dfrac{a-2}{a+1}\,\left( a\ne -1 \right)\)
\(y'\left( a \right)=\dfrac{3}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại x = a là
\(y=\dfrac{3}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\dfrac{a-2}{a+1}\)