Giải bài 9 trang 177 – SGK môn Đại số và Giải tích 11
Cho hai hàm số
\(y=\dfrac{1}{x\sqrt{2}} \) và \(y=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2}}\)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Nhắc lại.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại tiếp điểm \((x_0;y_0)\) là
\(y-y_0=f’(x_0)(x-x_0)\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{1}{x\sqrt{2}}=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2}}\Rightarrow {{x}^{3}}=1\Leftrightarrow x=1 \)
Với \( x=1\), thì \(y=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại điểm \(A\left( 1;\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x\sqrt{2}}\) tại \(A\) là:
\(y-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=y'\left( 1 \right)\left( x-1 \right) \)
Mà \(y'=-\dfrac{1}{{{x}^{2}}\sqrt{2}}\Rightarrow y'\left( 1 \right)=\dfrac{-1}{\sqrt{2}} \)
Vậy phương trình tiếp tuyến có phương trình \(d_1\):
\(y-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left( x-1 \right)\) hay \(y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}x+\sqrt{2} \)
Tương tự ta có, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{2}}\) là \(d_2\):
\(y-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\left( x-1 \right)\) hay \(y=\sqrt{2}x-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
Ta có, hệ số góc của hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) lần lượt là \({{k}_{1}}=\dfrac{-1}{\sqrt{2}};\,{{k}_{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow {{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1\)
Vậy hai tiếp tuyến \(d_1\) và \(d_2\) vuông góc với nhau.