Giải bài 1.75 trang 39 - SBT Giải tích lớp 12

a) 

Với \(m=1\) ta có: \(y=4x^3+x\)

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(\lim\limits_{x\to-\infty}y=-\infty;\,\,\lim\limits_{x\to+\infty}y=+\infty\)

\(y'=12x^2+1>0\forall x\in D\)

Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb R\)

Bảng biến thiên

Đồ thị

b)

Gọi \((x_0;y_0) \) là tiếp điểm.

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=13x+1\) nên ta có:

\(12x_0^2+1=13\\ \Rightarrow \left[ \begin{align} &x_0=1\Rightarrow y_0=5\\ &x_0=-1\Rightarrow y_0= -5\\ \end{align}\right.\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=13(x-1)+5\Rightarrow y=13x-8\\ y=13(x+1)-5\Rightarrow y=13x+8\)

c)

Ta có: \(D=\mathbb R\)

\(y'=12x^2+m\)

+) Nếu \(m\ge 0\), thì \(y'>0\forall x\) hàm số luôn đồng biến trên D.

Bảng biến thiên: 

+) Nếu \(m<0\) suy ra \(y'=0\Rightarrow x^2=\dfrac{-m}{12}\Rightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{-m}{12}}\)

Bảng biến thiên: 

Hàm số đồng biến trên \(\left(-\infty;-\sqrt{\dfrac{-m}{12}}\right); \left(\sqrt{\dfrac{-m}{12}};+\infty\right)\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left(-\sqrt{\dfrac{-m}{12}};\sqrt{\dfrac{-m}{12}}\right)\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-\sqrt{\dfrac{-m}{12}}\); đạt cực tiểu tại \(x=\sqrt{\dfrac{-m}{12}}\)