Giải bài 1.78 trang 40 - SBT Giải tích lớp 12
Cho hàm số \(y=x^3-3x^2\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \(x^3-3x^2-m=0\) có ba nghiệm phân biệt.
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008)
a)
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(\lim\limits_{x\to-\infty}=-\infty;\,\lim\limits_{x\to+\infty}=+\infty\)
\(y'=3x^2-6x\\ y'=0\Rightarrow \left[\begin{align}&x=0\\ &x=2\\\end{align}\right.\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0);(2;+\infty)\) và nghịch biến trên khoảng \((0;2)\)
Hàm số đạt cực đại tại \((0;0)\) và cực tiểu tại \((2;-4)\)
Đồ thị (C)
b)
Ta có: \(x^3-3x^2-m=0\Leftrightarrow x^3-3x=m\)
Vậy số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị và đường thẳng \(y=m\)
Từ đồ thị hàm số, ta có:
Để đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt khi \(-4 < m < 0\)
Vậy \(-4 < m < 0\)