Giải bài 1.79 trang 40 - SBT Giải tích lớp 12
Cho hàm số \(y=-x^4-x^2+6\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=\dfrac 1 6 x-1\)
(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)
a)
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(\lim\limits_{x\to-\infty} y=\,\lim\limits_{x\to+\infty} y=-\infty\)
\(y'=-4x^3-2x\\ y'=0\Rightarrow \left[\begin{align}&x=0\\ &-4x^2-2=0\,\,(\text{vô lý})\\\end{align}\right.\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;0)\) và nghịch biến trên khoảng \((0;+\infty)\)
Hàm số đạt cực đại tại \((0;6)\)
Đồ thị (C)
b)
Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị là \((x_0;y_0)\)
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=\dfrac 1 6 x-1\) nên tiếp tuyến có hệ số góc là \(-6\) hay:
\(y'(x_0)=-6\Rightarrow -4x_0^3-2x_0=-6\\ \Leftrightarrow (x_0-1)(-4x_0^2-4x_0-6)=0\Leftrightarrow x_0=1\,\,(\Rightarrow y_0=4)\)
Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng
\(y=-6(x-1)+4\Rightarrow y=-6x+10\)
Ghi nhớ:
Hai đường thẳng \(y=ax+b\) và \(y=a'x+b'\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi \(a.a'=-1\)