Giải bài 1.76 trang 40 - SBT Giải tích lớp 12
Cho hàm số
\(y=-(m^2+5m)x^3+6mx^2+6x-5\)
a) Xác định m để hàm đơn điệu trên \( \mathbb R\). Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?
b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại \(x=1\)?
a)
TXĐ: \(D= \mathbb R\)
Ta có:
\(y'=-3(m^2+5m)x^2+12mx+6\)
Hàm số đơn điệu trên \( \mathbb R\) khi và chỉ khi \(y'\) không đổi dấu.
+) \(m^2+5m=0\Rightarrow \left[\begin{align} &m=0\\ &m=-5\\ \end{align}\right.\)
Với \(m = 0\) thì \(y'=6> 0\) hàm số luôn đồng biến.
Với \(m =-5\) thì \(y'=-60x+6\) đổi dấu khi \(x=\dfrac 1 {10}\)
+) \(m^2+5m\ne 0\) thì \(y'\) không đổi dấu khi \(\Delta'\le0\Rightarrow 36m^2+18(m^2+5m)\le0\Rightarrow -\dfrac{5}{3} \le m \le 0\)
Ta lại có, với \(-\dfrac 5 3 \le m < 0\) thì \(m^2+5m < 0\) nên hàm số luôn nghịch biến trên \( \mathbb R\)
Vậy với \(-\dfrac 5 3 \le m \le 0\), hàm số luôn nghịch biến trên \( \mathbb R\)
b)
\(y'=-3(m^2+5m)x^2+12mx+6\\ y''=-6(m^2+5m)x+12m\)
Để hàm số đạt cực đại tại \(x=1\) thì
\(y'(1)=0\Rightarrow -3(m^2+5m)+12m+6=0\\ \Rightarrow \left[\begin{align}&m=1\\&m=-2\\\end{align}\right.\)
Với \(m =1\), \(y''(1)=-24<0\), (thỏa mãn)
Với \(m =-2, y''(1)=12 > 0\), (loại)
Vậy \(m=1\)
Ghi nhớ:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=x_0\) nếu \(y'(x_0)=0 \) và \(y''(x_0)>0\)