Giải bài 1.77 trang 40 - SBT Giải tích lớp 12

a)

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(y'=(a-1)x^2+2ax+(3a-2)\)

Với \(a=1\), ta có: \(y'=2x+1\) hàm số đồng biến trên \(\left(-\dfrac 1 2 ; +\infty\right)\) và nghịch biến trên \(\left(-\infty; -\dfrac 1 2 \right)\)

Với \(a\ne 1\), hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb R\) khi:

\(\left\{\begin{aligned}&a >1 \\& a^2-(a-1)(3a-2)\le0\\ \end{aligned}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{aligned}&a >1 \\& \left[\begin{aligned}&a \le\dfrac 1 2 \\& a\ge2\\ \end{aligned}\right.\\ \end{aligned}\right.\\ \Rightarrow a \ge 2\)

Với \(a \ge 2\) hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb R\) 

b)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{(a-1)x^3}3+ax^2+(3a-2)x=0\\ \Rightarrow x\left[\dfrac{(a-1)x^2}3+ax+(3a-2)\right]=0\)

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì phương trình \(\dfrac{(a-1)x^2}3+ax+(3a-2)=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:

\(\left\{\begin{aligned}&a-1\ne 0\\ &\Delta=9a^2-4(a-1)(9a-6)>0\\&9a-6\ne0\\ \end{aligned}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{aligned}&a\ne \dfrac 2 3\\&a\ne 1\\ &\dfrac{10-\sqrt{28}}{9}< a<\dfrac{10-\sqrt{28}} 9\\ \end{aligned}\right.\)

c)

Với \(a=\dfrac 3 2\), ta có: \(y=\dfrac 1 6 x^3+\dfrac 3 2 x^2+\dfrac 5 2x\)

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(y'=\dfrac 1 2 x^2+3x+\dfrac 52\\ y'=0\Rightarrow \left[\begin{align}&x=-1\\ &x=-5\\ \end{align}\right.\)

Bảng biến thiên

Cách dựng đồ thị hàm số \(y=\left|\dfrac{x^3} 6+\dfrac {3x^2} 2+\dfrac{5x} 2\right|\)

- Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.

- Lấy đối xứng phần đồ thị (C) phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Ta được đồ thị hàm số cần vẽ.