Giải bài 3.2 trang 163 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12
Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:
a) \(F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+1}{2x-3}\) và \(G\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+10}{2x-3}\)
b) \(F\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\sin }^{2}}x}\) và \(G\left( x \right)=10+{{\cot }^{2}}x\)
a) Ta có:
\(\begin{align} & F'\left( x \right)=\frac{\left( {{x}^{2}}+6x+1 \right)'\left( 2x-3 \right)-\left( {{x}^{2}}+6x+1 \right)\left( 2x-3 \right)'}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{\left( 2x+6 \right)\left( 2x-3 \right)-2\left( {{x}^{2}}+6x+1 \right)}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{2{{x}^{2}}-6x-20}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)
Mà \(F\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+6x+1}{2x-3}=\dfrac{{{x}^{2}}+10}{2x-3}+3=G\left( x \right)+3\) nên \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\dfrac{2{{x}^{2}}-6x-20}{{{\left( 2x-3 \right)}^{2}}}\)
b) Ta có:
\(\begin{align} & G'\left( x \right)=(10+\cot^2x)' \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=2.\cot x. (\cot x)' \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-2 \cot x . \frac{1}{\sin^2 x}\\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=-\frac{2 \cos x}{\sin^3 x} \\ \end{align}\)
Mà \(G\left( x \right)=10+\cot ^2 x= \dfrac{1}{\sin ^2 x}+9=F\left( x \right)+9\) nên \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=-\dfrac{2\cos x}{\sin^3 x}\)
Ghi nhớ:
Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F’(x) =F(x) với mọi x thuộc K