Giải bài 3.3 trang 164 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right)={{\left( x-9 \right)}^{4}}\)
b) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}\)
c) \(f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)
d) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\)
a) \(f\left( x \right)={{\left( x-9 \right)}^{4}}\)
\(\int{(x-9)^4}dx=\dfrac{1}{5}(x-9)^5+C\)
b) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}\)
Đặt \(u=2-x\). Ta có \(du=-dx\)
\(\int\dfrac{1}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}dx=-\int \dfrac{du}{u^2}=\dfrac{1}{u}+C=\dfrac{1}{2-x}+C\)
c) \(f\left( x \right)=\dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\)
Đặt \( \sqrt{1-{{x}^{2}}}=u\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}={{u}^{2}}\)
\( \Rightarrow -2xdx=2udu\Leftrightarrow xdx=-udu\)
\(\int \dfrac{x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx=-\int \dfrac{udu}{u}=-\int du=-u+C=-\sqrt{1-x^2}+C\)
d) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\)
Đặt \( \sqrt{2x+1}=u\Leftrightarrow 2x+1={{u}^{2}}\)
\( \Rightarrow 2dx=2udu\Leftrightarrow dx=udu\)
\(\int\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}dx=\int\dfrac{udu}{u}=\int du=u+C=\sqrt{2x+1}+C\)
Phương pháp đổi biến số
Nếu \(\int{f\left( u \right)}du=F\left( u \right)+C\) và \(u=u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
\(\int{f\left( u\left( x \right) \right)u'\left( x \right)dx=F\left( u\left( x \right) \right)+C}\)