Giải bài 3.4 trang 164 - SBT Đại số và Giải tích lớp 12

a)     \(\int{{{x}^{2}}\sqrt[3]{1+{{x}^{3}}}}dx\)  với \(x>-1\)

 Đặt \(t=1+{{x}^{3}}\) \(\Rightarrow dt=3x^2dx\) hay \(x^2dx=\dfrac{dt}{3}\)

Ta có: 

\(\int{{{x}^{2}}\sqrt[3]{1+{{x}^{3}}}}dx=\dfrac{1}{3}\int \sqrt[3]{t} dt=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{4}t^{\frac{4}{3}}+C=\dfrac{1}{4}(1+x^3)^{\frac{4}{3}}+C\)

b)    \( \int{x{{e}^{-{{x}^{2}}}}}dx\)   

Đặt \(t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx\)

\( \int{x{{e}^{-{{x}^{2}}}}}dx=\int e^{-t}\dfrac{dt}{2}=-\dfrac{e^{-t}}{2}+C=-\dfrac{e^{-x^2}}{2}+C\)

c)    \(\int{\dfrac{x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}dx\) 

Đặt \(t=1+{{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx\)

\(\int{\dfrac{x}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}}}dx=\int \dfrac{dt}{2t^2}=-\dfrac{1}{2t}+C=-\dfrac{1}{2(1+x^2)}+C\)

d)     \( \int{\dfrac{1}{\left( 1-x \right)\sqrt{x}}dx}\) 

Đặt \(t=\sqrt{x}\Rightarrow dt=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}\) 

\( \int{\dfrac{1}{\left( 1-x \right)\sqrt{x}}dx}=\int\dfrac{2dt}{1-t^2}=\int\left(\dfrac{1}{1-t}+\dfrac{1}{1+t}\right)dt=-ln|1-t|+ln|1+t|+C\)

\(=ln\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|+C=ln\left|\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right|+C\)

e)    \( \int{\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x}^{2}}}dx}\) 

Đặt \(t=\dfrac{1}{x} \Rightarrow dt=-\dfrac{dx}{x^2}\)

\( \int{\sin \dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{{{x}^{2}}}dx}=- \int \sin t.dt=cost+C=cos\dfrac{1}{x}+C\)

g)       \(\int{\dfrac{{{\left( \ln x \right)}^{2}}}{x}}dx\) 

Đặt \(t=ln{x}\Rightarrow dt=\dfrac{dx}{x}\) 

\(\int{\dfrac{{{\left( \ln x \right)}^{2}}}{x}}dx=\int t^2dt=\dfrac{t^3}{3}+C=\dfrac{(lnx)^3}{3}+C\)

h)      \(\int{\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}}dx}\)   

Đặt \( t=\cos x\Rightarrow dt=-sin x dx\)

\(\int{\dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}x}}dx}=\int \dfrac{-dt}{t^{\frac{2}{3}}}=-3t^{\frac{1}{3}}+C=-3\sqrt[3]{cosx}+C\)

Phương pháp đổi biến số

Nếu \(\int{f\left( u \right)}du=F\left( u \right)+C\) và \(u=u\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

\(\int{f\left( u\left( x \right) \right)u'\left( x \right)dx=F\left( u\left( x \right) \right)+C}\)