Giải bài 18 trang 196 SGK giải tích nâng cao 12

Giả sử số phức \(z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\).

Do \(z\) là một căn bậc hai của số phức \(w\) nên \({{z}^{2}}=w={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi \).

Mà \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)

\(\begin{aligned} \left| w \right|&=\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( 2ab \right)}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}} \\ & ={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ \end{aligned} \)

\(\Rightarrow \sqrt{\left| w \right|}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\left| z \right|\) (đpcm).