Giải bài 20 trang 196 SGK giải tích nâng cao 12

Hướng dẫn:

a) Viết công thức nghiệm của phương trình \(A{{z}^{2}}+Bz+C=0\) rồi tính \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}, {{z}_{1}}.{{z}_{2}}\) xem công thức Vi-ét có đúng không.

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng là hệ quả của định lí Vi-ét.

Giả sử \({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=S, {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=P\) thì \(z_1,z_2\) là nghiệm của phương trình \({z}^{2}-Sz+P=0\).

Bài làm

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(A{{z}^{2}}+Bz+C=0\) là

\(z=\dfrac{-B\pm w}{2A}\,\left( {{w}^{2}}={{B}^{2}}-4AC \right) \)

Do đó 

\({{z}_{1}}+{{z}_{2}}=-\dfrac{B}{A} \\ {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=\dfrac{\left( -B-w \right)\left( -B+w \right)}{4{{A}^{2}}}=\dfrac{{{B}^{2}}-{{w}^{2}}}{4{{A}^{2}}}=\dfrac{4AC}{4{{A}^{2}}}=\dfrac{C}{A} \)

Vậy công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức.

b) Gọi hai số phức cần tìm là \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\).

Do \(\left\{ \begin{aligned} & {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4-i \\ & {{z}_{1}}.{{z}_{2}}=5\left( 1-i \right) \\ \end{aligned} \right. \) nên \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}-\left( 4-i \right)z+5\left( 1-i \right)=0 \).

Ta có \(\Delta ={{\left( 4-i \right)}^{2}}-20\left( 1-i \right) =-5+12i \)

Giả sử \(w=x+yi \) là căn bậc hai của \(\Delta\). Khi đó

\({{\left( x+yi \right)}^{2}}=-5+12i\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=-5 \\ & 2xy=12 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-\dfrac{36}{{{x}^{2}}}=-5 \\ & y=\dfrac{6}{x} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{4}}+5{{x}^{2}}-36=0 \\ & y=\dfrac{6}{x} \\ \end{aligned} \right. \\ \)

\( \Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} & x=2 \\ & y=3 \\ \end{aligned} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{aligned} & x=-2 \\ & y=-3 \\ \end{aligned} \right.\)

Vậy \(\Delta\) có hai căn bậc hai là \(\pm \left( 2+3i \right) \)

Hai số phức cần tìm là 

\({{z}_{1}}=\dfrac{1}{2}\left( 4-i+2+3i \right)=3+i \\ {{z}_{2}}=\dfrac{1}{2}\left( 4-i-2-3i \right)=1-2i \)

c) Giả sử phương trình \({{z}^{2}}+Bz+C=0\) có hai nghiệm \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai số phức liên hợp \({{z}_{2}}=\overline{{{z}_{1}}}\) thì theo công thức Vi-ét ta có

\(B=-\left( {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right)=-\left( {{z}_{1}}+\overline{{{z}_{1}}} \right)\) là số thực và \(C={{z}_{1}}{{z}_{2}}={{z}_{1}}\overline{{{z}_{1}}} \) là số thực.

Ngược lại, nếu B, C là các số thực thì khi \(\Delta=B^2-4AC>0\) ta có hai nghiệm thực phân biệt.

Do đó chúng không phải là liên hợp của nhau.

Vậy điều ngược lại là không đúng.

Khẳng định đúng nếu \(\Delta \le 0\).