Giải bài 24 trang 199 SGK giải tích nâng cao 12
Giải các phương trình sau trên \(\mathbb C\) (tức là tìm nghiệm phức của các phương trình đó) và biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):
a) \({{z}^{3}}+1=0;\) b) \({{z}^{4}}-1=0;\)
c) \({{z}^{4}}+4=0;\) d) \(8{{z}^{4}}+8{{z}^{3}}=z+1. \)
a) \({{z}^{3}}+1=0;\)
\( \Leftrightarrow \left( z+1 \right)\left( {{z}^{2}}-z+1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=-1 \\ & {{z}^{2}}-z+1=0\,\left( 1 \right) \\ \end{aligned} \right. \)
\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{z}^{2}}-z+1=0\, \\ \Delta =1-4=-3=3i^2 \\ \Leftrightarrow z=\dfrac{1\pm i\sqrt{3}}{2} \)
Vậy phương trình có ba nghiệm \(S=\left\{-1;\dfrac{1+ i\sqrt{3}}{2} ;\dfrac{1- i\sqrt{3}}{2} \right\}\).
Biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của phương trình trên là:
b) \({{z}^{4}}-1=0;\)
\(\Leftrightarrow {{z}^{4}}=1 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{z}^{2}}=1 \\ & {{z}^{2}}=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=\pm 1 \\ & z=\pm i \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy phương trình có bốn nghiệm \(S=\left\{-1;1;i;-i \right\}\).
Biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của phương trình trên là:
c) \({{z}^{4}}+4=0;\)
\(\Leftrightarrow {{z}^{4}}=-4=4i \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{z}^{2}}=2i={{\left( 1+i \right)}^{2}} \\ & {{z}^{2}}=-2i={{\left( 1-i \right)}^{2}} \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=\pm \left( 1+i \right) \\ & z=\pm \left( 1-i \right) \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy phương trình có bốn nghiệm \(S=\left\{-1-i;1+i;1-i;-1+i \right\}\).
Biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của phương trình trên là:
d) \(8{{z}^{4}}+8{{z}^{3}}=z+1. \)
\(\Leftrightarrow 8{{z}^{3}}\left( z+1 \right)-\left( z+1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left( z+1 \right)\left( 8{{z}^{3}}-1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=-1 \\ & 8{{z}^{3}}-1=0\,\left( * \right) \\ \end{aligned} \right. \)
\(\left( * \right)\Leftrightarrow \left( 2z-1 \right)\left( 4{{z}^{2}}+2z+1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=\dfrac{1}{2} \\ & 4{{z}^{2}}+2z+1=0\,\left( ** \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \left( ** \right)\Leftrightarrow 4{{z}^{2}}+2z+1=0 \\ \Delta '=1-4=-3 \\ \Rightarrow z=\dfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{4} \)
Vậy phương trình có bốn nghiệm \(S=\left\{-1;\dfrac{1}{2} ;\dfrac{-1- i\sqrt{3}}{4};\dfrac{-1+ i\sqrt{3}}{4} \right\}\).
Biểu diễn hình học tập hợp các nghiệm của phương trình trên là:
