Giải bài 21 trang 197 SGK giải tích nâng cao 12
a) Giải phương trình sau: \(\left( {{z}^{2}}+i \right)\left( {{z}^{2}}-2iz-1 \right)=0\)
b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai \(z^2+Bz+3i=0\) có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
a) \(\left( {{z}^{2}}+i \right)\left( {{z}^{2}}-2iz-1 \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{z}^{2}}+i=0\,\left( 1 \right) \\ & {{z}^{2}}-2iz-1=0\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right. \)
\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{z}^{2}}=-i\) hay z là căn bậc hai của \(-i\).
Theo kết quả của bài 17 ta được \(z=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left( 1-i \right)\).
\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2iz-1=0\, \\ \Leftrightarrow {{\left( z-i \right)}^{2}}=0 \\ \Leftrightarrow z=i \)
b) Áp dụng công thức Vi-ét ta có
\(z_1+z_2=-B,z_1z_2=3i\)
Do tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên \(z_1^2+z_2^2=8\)
\(\Leftrightarrow (z_1+z_2)^2-2z_1z_2=8\\ \Leftrightarrow B^2-6i=8\\ \Leftrightarrow B^2=8+6i=(3+i)^2\\ \Leftrightarrow B=\pm(3+i)\)