Giải bài 25 trang 199 SGK giải tích nâng cao 12
a) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) \({{z}^{2}}+bz+c=0\) nhận \(z=1+i\) làm một nghiệm.
b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z) \({{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+bz+c=0\) nhận \(z=1+i\) làm một nghiệm và cũng nhận \(z=2\) làm nghiệm.
a) \(i+1\) là nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+bz+c=0\) khi và chỉ khi
\({{\left( 1+i \right)}^{2}}+b\left( 1+i \right)+c=0 \\ \Leftrightarrow 2i+b+bi+c=0 \\ \Leftrightarrow \left( b+c \right)+\left( 2+b \right)i=0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & b+c=0 \\ & 2+b=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & b=-2 \\ & c=2 \\ \end{aligned} \right. \)
b) \(i+1\) là nghiệm của phương trình \({{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+bz+c=0\) khi và chỉ khi
\({{\left( 1+i \right)}^{3}}+a{{\left( 1+i \right)}^{2}}+b\left( 1+i \right)+c=0 \\ \Leftrightarrow 1+3i-3-i+2ai+b+bi+c=0 \\ \Leftrightarrow \left( b+c-2 \right)+\left( 2a+b+2 \right)i=0 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & b+c-2=0 \\ & 2a+b+2=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & b+c=2 \\ & 2a+b=-2\, \\ \end{aligned} \right.\left( I \right) \)
\(z=2\) là nghiệm của phương trình \({{z}^{3}}+a{{z}^{2}}+bz+c=0\) khi và chỉ khi
\(8+4a+2b+c=0\,\left( II \right) \)
Từ (I) và (II) ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & b+c=2 \\ & 2a+b=-2\, \\ & 4a+2b+c=-8 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-4 \\ & b=6 \\ & c=-4 \\ \end{aligned} \right. \)