Giải bài 26 trang 199 SGK giải tích nâng cao 12
a) Dùng công thức lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực \(\varphi \), ta có
\({{\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)}^{2}}=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi \)
Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức \(\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi .\) Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở §2.
b) Tìm các căn bậc hai của \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left( 1-i \right)\) bằng hai cách nói ở câu a)
a) Ta có
\(\begin{aligned} {{\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)}^{2}}&={{\cos }^{2}}\varphi +2i\sin \varphi .\cos \varphi -{{\sin }^{2}}\varphi \\ & =\cos 2\varphi +2i\sin 2\varphi \\ \end{aligned} \)
Vậy số phức \(\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi \) có hai căn bậc hai là \(\pm \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\).
Theo cách giải trong bài học để tính căn bậc hai của \(\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi \) ta quy về giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\cos 2\varphi \\ & 2xy=\sin 2\varphi \\ \end{aligned} \right. \)
Trong đó \(z=x+yi\) là các căn bậc hai cần tìm.
b) Ta có
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left( 1-i \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}i=\cos \left( -\dfrac{\pi }{4} \right)+i\sin \left( -\dfrac{\pi }{4} \right) \)
Theo câu a) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left( 1-i \right)\) có hai căn bậc hai là \(\pm \left( \cos \left( -\dfrac{\pi }{8} \right)+i\sin \left( -\dfrac{\pi }{8} \right) \right)=\pm \left( \cos \dfrac{\pi }{8}-i\sin \dfrac{\pi }{8} \right)\).
Mà \(\cos \dfrac{\pi }{8}=\sqrt{\dfrac{1+\cos \dfrac{\pi }{4}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}} \)
\(\sin\dfrac{\pi }{8}=\sqrt{\dfrac{1-\cos \dfrac{\pi }{4}}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
Vậy hai căn bậc hai cần tìm là \(\pm \dfrac{1}{2}\left( \sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}} \right) \).
Theo cách giải trong bài học:
Giả sử \(z=x+yi\) là các căn bậc hai cần tìm. Khi đó
\(\left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & 2xy=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{aligned} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 8{{x}^{4}}-4\sqrt{2}{{x}^{2}}-1=0 \\ & y=-\dfrac{\sqrt{2}}{4x} \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4} \\ & y=-\dfrac{\sqrt{2}}{4x} \end{aligned} \right. \)
Suy ra các nghiệm của hệ phương trình là \(\left( \dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right),\left( -\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \right)\).
Vậy ta lại được hai căn bậc hai đã viết ở trên.