Giải bài 19 trang 196 SGK giải tích nâng cao 12
Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:
a) \({{z}^{2}}=z+1;\)
b) \({{z}^{2}}+2z+5=0;\)
c) \({{z}^{2}}+\left( 1-3i \right)z-2\left( 1+i \right)=0\).
Hướng dẫn: Cho phương trình bậc 2 \(az^2+bz+c=0\).
Bước 1: Tính biệt thức \(\Delta=b^2-4ac\) và tính căn bậc hai của \(\Delta\).
Bước 2: Viết công thức nghiệm của bài toán \(z=\dfrac{-b\pm\sqrt \Delta}{2a}\).
Ngoài ra có thể sử dụng công thức nghiệm thu gọn:
Bước 1: Tính biệt thức \(\Delta'=b'^2-ac\) với \(b'=\dfrac{b}{2}\) và tính căn bậc hai của \(\Delta'\).
Bước 2: Viết công thức nghiệm của bài toán \(z=\dfrac{-b'\pm\sqrt \Delta'}{a}\).
Bài làm
a) \({{z}^{2}}=z+1 \)
\(\Leftrightarrow {{z}^{2}}-z-1=0 \)
Ta có \(\Delta =1+4=5 , \sqrt{\Delta }=\pm \sqrt{5} \)
Suy ra nghiệm của phương trình là \({{z}_{1}}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},{{z}_{2}}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} \).
b) \({{z}^{2}}+2z+5=0\)
Ta có \(\Delta '=1-5=-4=4{{i}^{2}},\sqrt{\Delta }=\pm 2i \)
Suy ra nghiệm của phương trình là \({{z}_{1}}=-1+2i,{{z}_{2}}=-1-2i \).
c) \({{z}^{2}}+\left( 1-3i \right)z-2\left( 1+i \right)=0\)
Ta có
\(\Delta ={{\left( 1-3i \right)}^{2}}+8\left( 1+i \right) \\ \,\,\,\, =2i={{\left( 1+i \right)}^{2}} \)
\(\sqrt{\Delta }=\pm \left( 1+i \right)\)
Suy ra nghiệm của phương trình là \({{z}_{1}}=\dfrac{-1+3i+1+i}{1}=2i,{{z}_{2}}=\dfrac{-1+3i-1-i}{2}=-1+i\).