Giải bài 23 trang 199 SGK giải tích nâng cao 12
Tìm nghiệm phức của phương trình \(z+\dfrac{1}{z}=k\) trong các trường hợp sau:
a) \(k=1\); b) \(k=\sqrt{2}\); c) \(k=2i\).
Gợi ý: Biến đổi về phương trình bậc hai rồi giải.
Ta có: \(z+\dfrac{1}{z}=k\Rightarrow {{z}^{2}}-kz+1=0\).
a) \(k=1\)
\(\Leftrightarrow {{z}^{2}}-z+1=0 \\ \Delta =1-4=-3=3i^2 \)
Nghiệm của phương trình là \(z=\dfrac{1\pm \sqrt{3}i}{2}\).
b) \(k=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow {{z}^{2}}-\sqrt{2}z+1=0 \\ \Delta =2-4=-2=2i^2 \)
Nghiệm của phương trình là \(z=\dfrac{\sqrt{2}\pm i\sqrt{2}}{2} \)
c) \(k=2i\)
\(\Leftrightarrow {{z}^{2}}-2iz+1=0 \\ \Delta '={{\left( i \right)}^{2}}-1=-2=2i^2 \)
Nghiệm của phương trình là \(z=i\pm \sqrt{2}i=i\left( 1\pm \sqrt{2} \right)\).