Giải bài 4 trang 94 – SGK môn Hình học lớp 12
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm \(A\left( 1;0;0 \right),B\left( 0;1;0 \right),C\left( 0;0;1 \right),D\left( 1;1;1 \right) \)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện.
(B) Tam giác ABD là tam giác đều.
(C) \(AB\bot CD\)
(D) Tam giác BCD là tam giác vuông
Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( -1;1;0 \right),\overrightarrow{AC}=\left( -1;0;1 \right),\overrightarrow{AD}=\left( 0;1;1 \right)\)
\(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right]=\left( 1;1;1 \right) \\ \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}=1+1=2\ne 0 \)
Suy ra bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng hay bốn điểm tạo thành một tứ diện.
\(\overrightarrow{BD}=\left( 1;0;1 \right) \\ \Rightarrow AB=AD=BD=\sqrt{2} \)
Suy ra tam giác ABD đều
\(\overrightarrow{CD}=\left( 1;1;0 \right) \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\left( -1 \right).1+1.1+0.0=0\Rightarrow AB\bot CD \)
\(\overrightarrow{BC}=\left( 0;-1;1 \right) \\ \Rightarrow BC=CD=BD=\sqrt{2} \)
Suy ra tam giác BCD đều
Vậy đáp án D không đúng
Chọn (D)
Ghi nhớ
Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện khi \(\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD}\ne 0 \)
Hai vectơ vuông góc với nhau khi chúng có tích vô hướng bằng 0