Giải bài 3 trang 131 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BD, \,CE\) cắt nhau tại \(H.\) Đường vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và đường vuông góc với \(AC\) tại \(C\) cắt nhau ở \(K.\) Tam giác \(ABC\) phải có điều kiện gì thì tứ giác \(BHCK\) là:
a) Hình thoi?
b) Hình chữ nhật?
Ta có:
\(CE \bot AB\) (giả thiết)
\(KB \bot AB\) (giả thiết)
Suy ra \(BK // CH \,\,(1)\) (tính chất từ vuông góc đến song song)
Tương tự ta chứng minh được: \(BH // KC \,\,(2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) ta được :
Tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Gọi \(M\) là giao điểm của hai đường chéo \(BC\) và \(HK.\)
a) \(BHCK\) là hình thoi khi và chỉ khi \(HM \bot BC\) (dấu hiệu nhận biết hình thoi)
Vì \(HA \bot BC\) nên \(HM \bot BC \Leftrightarrow A, H, M\) thẳng hàng. Tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\)
b) \(BHCK\) là hình chữ nhật \(\Leftrightarrow BH \bot HC.\)
Ta lại có \(BE \bot HC,\, CD ⊥ BH\) nên \(BH \bot HC \Leftrightarrow H,\, D,\, E\) trùng nhau. Khi đó \(H,\, D,\, E\) cũng trùng với \(A.\)
Vậy tam giác \(ABC\) là tam giác vuông ở \(A.\)
Ghi nhớ:
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi
- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật