Giải bài 4 trang 132 – SGK Toán lớp 8 tập 2

Ta có: \(M, \, N\) lần lượt là trung điểm  \(AB, \, CD\) (giả thiết)
\( \Rightarrow AB = 2MB,\, DC = 2DN\) (tính chất trung điểm)
Mà \(AB = DC\) (tính chất hình bình hành)
\(\Rightarrow MB = DN\)
Mà \(MB // DN\) (giả thiết)
\(\Rightarrow\) Tứ giác \(MBND\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Tương tự ta có \(AMND,\, MBCN\) là hình bình hành.
\(\Rightarrow E\) là trung điểm của \(DM,\, K\) là trung điểm của \(CM \,\,(1)\) (tính chất hình bình hành)
\(\Rightarrow EM = NK\)
Mà \(EM // NK\) (do \(DM // BN\))
\(\Rightarrow EMKN\) là hình bình hành.
a) Để \(MENK\) là hình thoi thì hình bình hành \(MENK\) phải có hai đường chéo vuông góc. Tức là \(MN \bot EK.\)
\(\Rightarrow BC \bot CD.\)
Vậy \(ABCD\) phải là hình chữ nhật.
b) Để \(MENK\) là hình chữ nhật thì hình bình hành \(MENK\) phải có hai đường chéo bằng nhau. Tức là \(MN = EK.\)
Mà \(MN = BC, \, EK = \dfrac{1}{2}CD\)
\(\Rightarrow BC = \dfrac{1}{2}CD\)
c) Để \(MENK\) là hình vuông thì \(MENK\) phải vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật. Tức là hình bình hành \(ABCD\) phải là hình chữ nhật có:
\(BC = \dfrac{1}{2}DC\)

Ghi nhớ:

- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình thoi

- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật