Giải bài 4 trang 27 – SGK Hình học lớp 10
Chứng minh rằng \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right| \le \left|\overrightarrow{a} \right| +\left|\overrightarrow{b} \right| \).
Hướng dẫn:
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(\overrightarrow{a} \) và \(\overrightarrow{b} \) cùng phương.
Trường hợp 2: \(\overrightarrow{a} \) và \(\overrightarrow{b} \) không cùng phương.
Trường hợp 1: \(\overrightarrow{a} \) và \(\overrightarrow{b} \) cùng phương.
Ta có: \(\overrightarrow{a} =k\overrightarrow{b} \). Khi đó:
\(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=\left|k\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left|(k+1)\overrightarrow{b} \right|\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\left|1+k \right|\left|\overrightarrow{b} \right| \le (1+\left|k \right|) \left|\overrightarrow{b} \right| \)
Suy ra:
\(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right| \le \left|k\overrightarrow{b} \right| +\left|\overrightarrow{b} \right|=\left|\overrightarrow{a} \right| +\left|\overrightarrow{b} \right| \)
Trường hợp 2: \(\overrightarrow{a} \) và \(\overrightarrow{b} \) không cùng phương.
Đặt \(\overrightarrow{a} =\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{b} =\overrightarrow{BC}\)
Khi đó:
\(\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
Suy ra: \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=AC\)(1)
Mà \(\Delta{ABC}\) có:
\(AB+BC \ge AC\)
hay \(\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\ge AC\) (2)
Từ (1) và (2), ta có:
\(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right| \le \left|\overrightarrow{a} \right| +\left|\overrightarrow{b} \right| \).
