Giải bài 1 trang 80 – SGK môn Hình học lớp 12
Viết phương trình của mặt phẳng
a) Đi qua điểm \(M\left( 1;-2;4 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 2;3;5 \right) \) làm vectơ pháp tuyến;
b) Đi qua điểm \(A\left( 0;-1;2 \right)\) và song song với giá của mỗi vectơ \(\overrightarrow{u}=\left( 3;2;1 \right)\overrightarrow{v}=\left( -3;0;1 \right)\).
c) Đi qua ba điểm \(A\left( -3;0;0 \right),B\left( 0;-2;0 \right)\) và \(C\left( 0;0;-1 \right) \).
Hướng dẫn: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(x_o;y_o;z_o)\) và có vectơ \(\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right) \) là vectơ pháp tuyến có dạng
\(a(x-x_o)+b(y-y_o)+c(z-z_o)=0\)
a) Mặt phẳng (P) đi qua \(M\left( 1;-2;4 \right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 2;3;5 \right) \) là vectơ pháp tuyến có dạng:
\(2\left( x-1 \right)+3\left( y+2 \right)+5\left( z-4 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 2x+3y+5z-16=0 \)
b) Mặt phẳng (Q) song song với giá của mỗi vectơ \(\overrightarrow{u}=\left( 3;2;1 \right)\overrightarrow{v}=\left( -3;0;1 \right)\)nên
\(\left\{ \begin{aligned} & \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{u} \\ & \overrightarrow{n}\bot \overrightarrow{v} \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right]=\left( 2;-6;6 \right) \)
Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng
\(2\left( x-0 \right)-6\left( y+1 \right)+6\left( z-2 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 2x-6y+6z-18=0 \\ \Leftrightarrow x-3y+3z-9=0 \)
c) Ta có phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm \(A\left( -3;0;0 \right),B\left( 0;-2;0 \right)\) và \(C\left( 0;0;-1 \right) \) là
\( \dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{-2}+\dfrac{z}{-1}=1 \\ \Leftrightarrow 2x+3y+6z+6=0 \)
Ghi nhớ:Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm \(A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right)\) và \(C\left( 0;0;c \right) \) là\( \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1 \,(a,b,c\ne 0)\)