Giải bài 5 trang 80 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho tứ diện có các đỉnh là \(A\left( 5;1;3 \right),\,B\left( 1;6;2 \right),\,C\left( 5;0;4 \right),\,D\left( 4;0;6 \right)\).
a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD).
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Phương pháp:
Bước 1: Xác định hai vectơ \(\overrightarrow u\) và \(\overrightarrow v\) có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng.
Bước 2: Tính vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow a=[\overrightarrow u;\overrightarrow v]\)
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng
a) Ta có \(\overrightarrow{AC}=\left( 0;-1;1 \right);\overrightarrow{AD}=\left( -1;-1;3 \right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{n_{(ACD)}}=\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD} \right]=\left( -2;-1;-1 \right)\)
Phương trình mặt phẳng (ACD) có dạng
\(-2\left( x-5 \right)-\left( y-1 \right)-\left( z-3 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 2x+y+z-14=0 \)
Tương tự, ta có \(\overrightarrow{BD}=\left( 3;-6;4 \right);\overrightarrow{BC}=\left( 4;-6;2 \right) \)
\(\Rightarrow\overrightarrow{n_{(BCD)}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right]=2\left( 6;5;3 \right) \)
Phương trình mặt phẳng (BCD) có dạng
\(6\left( x-1 \right)+5\left( y-6 \right)+3\left( z-2 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 6x+5y+3z-42=0 \)
b) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( -4;5;-1 \right),\overrightarrow{CD}=\left( -1;0;2 \right)\)
Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua AB và song song với CD nên có \(\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} \right]=\left( 10;9;5 \right)\).
Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) có dạng
\(10\left( x-5 \right)+9\left( y-1 \right)+5\left( z-3 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 10x+9y+5z-74=0 \)