Giải bài 10 trang 81 – SGK môn Hình học lớp 12

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có:

\(A\left( 0;0;0 \right),\,B\left( 1;0;0 \right),\,C\left( 1;1;0 \right),\,D\left( 0;1;0 \right) \\ A'\left( 0;0;1 \right),\,B'\left( 1;0;1 \right),\,C'\left( 1;1;1 \right),D'\left( 0;1;1 \right) \)

a) Đặt \(\left( \alpha \right)=\left( AB'D' \right)\) và \(\left( \beta \right)=\left( BC'D \right)\).

Ta có \(\overrightarrow{AB'}=\left( 1;0;1 \right),\,\overrightarrow{AD'}=\left( 0;1;1 \right) \)

Suy ra mặt phẳng \((\alpha)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{AB'},\overrightarrow{AD'} \right]=\left( 1;1;-1 \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) là \(x+y-z=0 \).

Tương tự, Ta có \(\overrightarrow{BC'}=\left( 0;1;1 \right),\,\overrightarrow{BD}=\left( -1;1;0 \right)\)

Suy ra mặt phẳng \((\beta)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{{{n}_{\beta }}}=\left[ \overrightarrow{BC'},\overrightarrow{BD} \right]=\left( -1;-1;1 \right)\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\beta)\) là 

\(x-1-y+z=0 \\ \Leftrightarrow x-y+z-1=0 \)

Ta có \(\dfrac{1}{1}=\dfrac{1}{1}=\dfrac{-1}{-1}\ne \dfrac{0}{-1}\)

Do đó hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D') song song với nhau 

b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là 

\(d\left( \left( \alpha \right),\left( \beta \right) \right)=d\left( A,\left( \beta \right) \right)=\dfrac{\left| -1 \right|}{\sqrt{1+1+1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Ghi nhớ: Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x}_{o}};{{y}_{o}};{{z}_{o}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right):Ax+By+cz+D=0\) là

                                                 \(d\left( M,\left( \alpha \right) \right)=\dfrac{\left| A{{x}_{o}}+B{{y}_{o}}+C{{z}_{o}}+D \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}\)