Giải bài 10 trang 27 – SGK môn Hình học lớp 12

Nhắc lại: Công thức tính thể tích khối chóp là \(S=\dfrac 1 3 Bh\)

Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao.

a) 

Gọi M là trung điểm của B'C' \(\Rightarrow A'M\bot B'C' \).

Ta có \(\left. \begin{align} & A'M\bot B'C' \\ & A'M\bot BB' \\ \end{align} \right\}\Rightarrow A'M\bot \left( BB'C \right) \).

A'M là đường cao trong tam giác đều cạnh a nên \(A'M=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).

Diện tích đáy BB'C là \(B=\dfrac{1}{2}{{S}_{BB'C'C}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}\).

Thể tích khối tứ diện là

\({{V}_{A'BB'C}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)

b) 

Ta có \(\left\{ \begin{align} & \left( A'B'EF \right)\cap \left( ABC \right)=EF \\ & A'B'//\left( ABC \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow EF//A'B' \)

Gọi J, K lần lượt là trung điểm của AB và A'B'. I là trọng tâm tam giác ABC.

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & CJ\bot AB \\ & KJ\bot \left( ABC \right)\Rightarrow KJ\bot AB \\ \end{align} \right. \)

\(\Rightarrow \left. \begin{align} & AB\bot \left( KIJ \right) \\ & AB//EF \\ \end{align} \right\}\Rightarrow EF\bot \left( KIJ \right)\Rightarrow EF\bot KI \)

Vì \(\left. \begin{align} & EF\bot \left( CKJ \right) \\ & \left( CKJ \right)\cap \left( A'B'EF \right)=KI \\ \end{align} \right\}\Rightarrow d\left( C;A'B'EF \right)=d\left( C;KI \right) \)

Vì EF qua I và song song với AB nên \(\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{CI}{CJ}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow EF=\dfrac{2a}{3}\)

Ta có \(IJ=\dfrac{1}{3}CJ=\dfrac{1}{3}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\) (CJ là đường cao trong tam giác đều cạnh a)

Trong tam giác vuông KIJ có

\(KI=\sqrt{K{{J}^{2}}+I{{J}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{12}}=\dfrac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} \)

Diện tích tam giác CIK là

\({{S}_{CIK}}=\dfrac{2}{4}{{S}_{CJK}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.a=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{6}\)

Khoảng cách từ C đến KI là 

\(d\left( C;KI \right)=\dfrac{2{{S}_{CIK}}}{IK}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}:\dfrac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{2a\sqrt{13}}{13}\)

Diện tích hình thang A'B'EF là

\(B=\dfrac{1}{2}\left( a+\dfrac{2a}{3} \right).\dfrac{a\sqrt{13}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{5{{a}^{2}}\sqrt{13}}{12\sqrt{3}}\)

Thể tích khối chóp cần tìm là

\(V=\dfrac{1}{3}B.h=\dfrac{1}{3}.\dfrac{5{{a}^{2}}\sqrt{13}}{12\sqrt{3}}.\dfrac{2a\sqrt{13}}{13}=\dfrac{5{{a}^{3}}}{18\sqrt{3}}\)