Giải bài 5 trang 26 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a, OB = b, OC = c\). Hãy tính đường cao OH của hình chóp.
Gợi ý:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\dfrac{1}{a^{2}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}} \)
Kẻ \(OK\bot BC,\,OH\bot AK \)
Ta có \(\left. \begin{aligned} & BC\bot OK \\ & BC\bot OA \\ \end{aligned} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( AOK \right)\Rightarrow BC\bot OH \\ \)
Suy ra \(\left. \begin{align} & BC\bot OH \\ & AK\bot OH \\ \end{align} \right\}\Rightarrow OH\bot \left( ABC \right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có:
\(\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}=\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}} \)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOK ta có:
\(\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}} \\ \Rightarrow OH=\dfrac{abc}{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}} \)