Giải bài 8 trang 26 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD=b, SA = c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Hướng dẫn:
Áp dụng kết quả bài tập 4 trang 25 \(\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}\).
Lưu ý:
Kết quả chỉ đúng với tứ diện (hình chóp tam giác) không đúng với hình chóp tứ giác nên ta chia hình chóp tứ giác thành 2 hình chóp tam giác rồi áp dụng kết quả trên.
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, I là giao điểm của SO và B'D' thì C' là giao điểm của SI và SC.
Ta có \(\left. \begin{align} & BC\bot BA \\ & BC\bot SA \\ \end{align} \right\}\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AB' \)
Mà \(\left. \begin{align} & AB'\bot BC \\ & AB'\bot SB \\ \end{align} \right\}\Rightarrow AB'\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AB'\bot SC \)
Tương tự \(AD'\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( AB'C'D' \right)\Rightarrow SC\bot AC'\)
Ta có
\(SD=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}},SB=\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}\\AC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}},SC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\)
Trong tam giác vuông SAD đường cao AD' có
\(\cos \widehat{ASD}=\dfrac{SA}{SD}=\dfrac{SD'}{SA} \\ \Rightarrow SD'=\dfrac{S{{A}^{2}}}{SD}=\dfrac{{{c}^{2}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}} \\ \Rightarrow \dfrac{SD'}{SD}=\dfrac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \)
Tương tự \(\dfrac{SB'}{SB}=\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}};\dfrac{SC'}{SC}=\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\)
\(\dfrac{{{V}_{SAD'B'}}}{{{V}_{SADB}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{V}_{SAD'B'}}}{{{V}_{SADCB}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{SD'}{SD}.\dfrac{SB'}{SB} \\ \dfrac{{{V}_{SC'D'B'}}}{{{V}_{SCDB}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{V}_{SC'D'B'}}}{{{V}_{SADCB}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{SC'}{SC}.\dfrac{SD'}{SD}.\dfrac{SB'}{SB} \\ \begin{align} \Rightarrow \dfrac{{{V}_{SAC'D'B'}}}{{{V}_{SABCD}}}&=\dfrac{{{V}_{SAD'B'}}+{{V}_{SC'D'B'}}}{{{V}_{SABCD}}} \\ & =\dfrac{1}{2}\dfrac{SD'}{SD}.\dfrac{SB'}{SB}\left( 1+\dfrac{SC'}{SC} \right) \\ & =\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}.\left( 1+\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right) \\ & =\dfrac{{{c}^{4}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2{{c}^{2}} \right)}{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)} \end{align}\)
Thể tích khối chóp SABCD là
\({{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}AB.AD.AS=\dfrac{abc}{3} \\ \begin{align} \Rightarrow {{V}_{SAC'D'B'}}&=\dfrac{{{c}^{4}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2{{c}^{2}} \right)}{2\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}.\dfrac{abc}{3} \\ &=\dfrac{ab{{c}^{5}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2{{c}^{2}} \right)}{6\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)} \\ \end{align} \)