Giải bài 6 trang 26 – SGK môn Hình học lớp 12

Gợi ý:

Công thức tính thể tích của khối chóp: \(S=\dfrac 1 3 Sh\)

Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao hình chóp.

a) Gợi ý: Áp dụng kiến thức bài tập 4 trang 25.

Gọi M là trung điểm của BC, H là tâm tam giác ABC.

AM là đường cao trong tam giác đều cạnh a nên \(AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \).

Tam giác ABC đều nên H là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow AH=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\).

\(\widehat{SAH}=60^o\) là góc giữa cạnh bên SA và (ABC).

\(SA\bot \left( BCD \right)\Rightarrow SA\bot DM\)

Trong tam giác vuông ADM có

\(AD=AM.\cos \widehat{DAM}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\cos {{60}^{o}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4} \)

Trong tam giác vuông SAH có

\(SA=\dfrac{AH}{\cos \widehat{SAH}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{3}}{\cos {{60}^{o}}}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

\(SD=SA-DA=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}-\dfrac{a\sqrt{3}}{4}=\dfrac{5a\sqrt{3}}{12} \\ \Rightarrow \dfrac{{{V}_{SDBC}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SD}{SA}=\dfrac{5a\sqrt{3}}{12}.\dfrac{3}{2a\sqrt{3}}=\dfrac{5}{8} \\ \)

b) Ta có \(SH=SA.\sin \widehat{SAH}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.\sin {{60}^{o}}=a \)

\(\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)

\(\Rightarrow {{V}_{S.DBC}}=\dfrac{5}{8}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}=\dfrac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}\)