Giải bài 12 trang 27 – SGK môn Hình học lớp 12
a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN.
a)
Ta có: \({{V}_{MADN}}=\dfrac{1}{3}.AA'.{{S}_{ADN}}=\dfrac{1}{3}.AA'.\dfrac{1}{2}AB.AD=\dfrac{1}{6}.a.a.a=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}\)
b)
Từ M kẻ ME // DN (E thuộc A'D'). Từ N kẻ NF // DE (F thuộc BB').
Suy ra mặt phẳng (MND) cắt hình lập phương theo thiết diện là ngũ giác DEMFN.
Chia (H) thành 3 khối chóp D.BNF, D.BFMA'A và D.A'EM.
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & EM//DN \\ & A'M//DC \\ \end{align} \right. \)
\(\\\Rightarrow \widehat{\left( EM;A'M \right)}=\widehat{\left( DN;DC \right)}\Rightarrow \widehat{A'ME}=\widehat{CDN}\)
Suy ra \(\left\{ \begin{align} & \widehat{A'ME}=\widehat{CDN} \\ & \widehat{A'}=\widehat{C}={{90}^{o}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \Delta A'ME\sim \Delta CDN \)
\(\Rightarrow \dfrac{A'E}{A'M}=\dfrac{CN}{CD}=\dfrac{1}{2} \\ \Rightarrow A'E=\dfrac{1}{2}A'M=\dfrac{a}{4} \)
Tương tự \(\Delta FBN\sim \Delta DD'E\Rightarrow \dfrac{BF}{BN}=\dfrac{DD'}{D'E}=\dfrac{4}{3}\)
\(\Rightarrow BF=\dfrac{4}{3}BN=\dfrac{2a}{3}\)
Ta có:
\({{S}_{ABB'A'}}={{a}^{2}};{{S}_{MB'F}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}}{12} \\ \Rightarrow {{S}_{ABFMA'}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{MB'F}}={{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{12}=\dfrac{11{{a}^{2}}}{12} \\ {{V}_{DABFMA'}}=\dfrac{1}{3}DA.{{S}_{ABFMA'}}=\dfrac{1}{3}a.\dfrac{11{{a}^{2}}}{12}=\dfrac{11{{a}^{3}}}{36} \,(1)\\ {{V}_{FDBN}}=\dfrac{1}{3}.BF.{{S}_{DBN}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a}{3}.\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{18} \,(2)\\ {{V}_{DA'EM}}=\dfrac{1}{3}.DD'.{{S}_{A'EM}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{4}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}}{48} \,(3) \)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow {{V}_{\left( H \right)}}=\dfrac{11{{a}^{3}}}{36}+\dfrac{{{a}^{3}}}{12}+\dfrac{{{a}^{3}}}{48}=\dfrac{55{{a}^{3}}}{144}\)
\({{V}_{\left( H' \right)}}={{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}-{{V}_{\left( H \right)}}={{a}^{3}}-\dfrac{55{{a}^{3}}}{144}=\dfrac{89{{a}^{3}}}{144}\)
Vậy \(\dfrac{{{V}_{\left( H \right)}}}{{{V}_{\left( H' \right)}}}=\dfrac{55}{89}\).