Giải bài 9 trang 26 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc \(60^o\). Gọi M là trung điểm SC.Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Hướng dẫn:
Áp dụng kết quả bài tập 4 trang 25: \(\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}\).
Lưu ý:
Kết quả chỉ đúng với tứ diện (hình chóp tam giác) không đúng với hình chóp tứ giác nên ta chia hình chóp tứ giác thành 2 hình chóp tam giác rồi áp dụng kết quả trên.
Gọi H là tâm hình vuông ABCD, I là giao điểm của SH và AM thì EF qua I và song song với BD.
Vì I là trọng tâm tam giác SAC nên \(\dfrac{SI}{SH}=\dfrac{2}{3}\).
Ta có \(\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{SF}{SD}=\dfrac{SI}{SH}=\dfrac{2}{3} \)
\(\dfrac{{{V}_{SAEF}}}{{{V}_{SABCD}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{V}_{SAEF}}}{{{V}_{SABD}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{SF}{SD}.\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9} \\ \dfrac{{{V}_{SEFM}}}{{{V}_{SABCD}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{V}_{SEFM}}}{{{V}_{SDBC}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{SM}{SC}.\dfrac{SF}{SD}.\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{1}{9} \\ \Rightarrow \dfrac{{{V}_{SAEMF}}}{{{V}_{SABCD}}}=\dfrac{{{V}_{SAEF}}+{{V}_{SEFM}}}{{{V}_{SABCD}}}=\dfrac{1}{3} \)
Lại có \(AH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
Trong tam giác vuông SAH có
\(SH=AH.\tan {{60}^{o}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
Thể tích khối chóp SABDC là
\({{V}_{SACBD}}=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6} \\ \Rightarrow {{V}_{SAEMF}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{18} \)