Giải bài 7 trang 26 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC có \(AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a\). Các mặt bên \(SAB, SBC, SCA\) tạo với đáy một góc \(60^o\). Tính thể tích của khối chóp đó.
Kẻ \(SH\bot \left( ABC \right)HI\bot AB,\,HJ\bot BC,\,HK\bot AC\)
Vì \(\widehat{SIH}=\widehat{SJH}=\widehat{SKH}={{60}^{o}}\) nên \(HI=HJ=HK=r\) là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Nửa chu vi tam giác ABC là \(p=\dfrac{5a+6a+7a}{2}=9a\)
Áp dụng công thức Hê - rông diện tích tam giác ABC là
\(B=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=6{{a}^{2}}\sqrt{6}\)
Mặt khác \(B=p.r\Rightarrow r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{6{{a}^{2}}\sqrt{6}}{9a}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}\)
Trong tam giác vuông SHI có
\(SH=HI.\tan \widehat{SIH}=\dfrac{2a\sqrt{6}}{3}.\tan {{60}^{o}}=2a\sqrt{2}\)
Thể tích khối chóp là
\({{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{3}Bh=\dfrac{1}{3}6{{a}^{2}}\sqrt{6}.2a\sqrt{2}=8{{a}^{3}}\sqrt{3}\)
Ghi nhớ:
Với tam giác biết độ dài ba cạnh của nó ta áp dụng công thức Hê - rông để tính diện tích:
\(B=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}\)
Trong đó: p là nửa chu vi; a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.