Giải bài 4 trang 91 - SGK Toán lớp 7 Tập 2
Cho góc vuông \(xOy,\) điểm \(A\) thuộc tia \(Ox,\) điểm \(B\) thuộc tia \(Oy.\) Đường trung trực của đoạn thẳng \(OA\) cắt \(Ox\) ở \(D,\) đường trung trực của đoạn thẳng \(OB\) cắt \(Oy\) ở \(E.\) Gọi \(C\) là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:
a) \(CE = OD; \)
b) \(CE \bot CD;\)
c) \(CA = CB; \)
d) \(CA // DE;\)
e) Ba điểm \(A, \,B, \,C\) thẳng hàng.
Hướng dẫn:
a) Áp dụng định lý từ vuông góc đến song song và sử dụng tính chất đoạn chắn.
c) Chỉ ra \(C\) thuộc đường trung trực của \(AB\)
Bài giải:
a) Chứng minh \(CE = OD\)
Ta có: \(Ox \bot Oy\) (giả thiết)
\(CE \bot Oy\) (giả thiết)
\( \Rightarrow Ox // CE\) (định lí từ vuông góc đến song song) \((1)\)
Lại có: \(Oy \bot Ox\) (giả thiết)
\(CD \bot Ox\) (giả thiết)
\( \Rightarrow Oy // CD\) (định lí từ vuông góc đến song song) \((2) \)
Từ \((1)\) và \((2)\) ta có:
\(Ox // CE\) và \(Oy // CD\)
\( \Rightarrow CE = OD\) (tính chất đoạn chắn) (đpcm)
b) Chứng minh \(CE \bot CD\)
Ta có: \(Ox // CE\) (chứng minh trên)
Mà \(CD \bot Ox\) (giả thiết)
\( \Rightarrow CD \bot CE\) (đpcm)
c) Chứng minh \(CA = CB\)
Vì \(C\) nằm trên đương trung trực của đoạn thẳng \(OA\) nên: \(CA = CO \,\, (3)\)
Vì \(C\) nằm trên đương trung trực của đoạn thẳng \(OB\) nên: \(CB = CO \,\,(4) \)
Từ \((3)\) và \( (4)\) suy ra \(CA = CB\) (đpcm)
d) Chứng minh \(CA // DE\)
Xét hai tam giác vuông \(DAC\) và \(CED,\) ta có:
\( CD\) cạnh chung
\( \widehat{ADC} = \widehat{DCE}\) (cùng bằng \(90^o\))
\( AD = CE\) (do \(OD = DA = CE\))
\( \Rightarrow ΔDAC = ΔCED\) (cạnh - góc - cạnh)
\( \Rightarrow \widehat{ACD} = \widehat{EDC} \) (cặp góc tương ứng)
\( \Rightarrow CA // DE\) (cặp góc so le trong bằng nhau)
e) Tương tự câu d ta chứng minh được \(CB // DE\)
Vậy ta được: \(AC // DE\)
\(CB // DE\)
Suy ra \(A,\, C,\, B\) thẳng hàng.
