Giải bài 9 trang 92 SGK Toán lớp 7 Tập 2
Chứng minh rằng: Nếu tam giác \(ABC\) có đường trung tuyến xuất phát từ \(A\) bằng một nửa cạnh \(BC\) thì tam giác đó vuông tại \(A.\)
Ứng dụng: Một tờ giấy bị rách mép (h.65). Hãy dùng thước và compa dựng đường vuông góc với cạnh \(AB\) tại \(A.\)
Giả sử gọi \(AM\) là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(A\) của \(ΔABC,\) ta có: \(AM = MB = MC\)
Xét \(ΔMAB,\) ta có: \(MA = MB\)
\(\Rightarrow ΔMAB\) cân tại \(M\) (tính chất)
\(\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{A_1} \,\,\,(1)\)
Tương tự, \(ΔMAC\) cân tại \(M \)
\(\Rightarrow \widehat{C} = \widehat{A_2} \,\,\,(2)\)
Cộng \((1)\) và \((2)\) theo vế, ta có:
\(\widehat{B} + \widehat{C} = \widehat{A_1} + \widehat{A_2} = \widehat{BAC} \,\,\, (3)\)
Trong \(ΔABC,\) ta có: \(\widehat{BAC} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
Hay \(\widehat{BAC} + \widehat{BAC} = 180^o\)
\(\Rightarrow 2\widehat{BAC} = 180^o\)
\(\Rightarrow \widehat{BAC} = 90^o\)
Vậy \(ΔABC\) vuông tại \(A\)
Ứng dụng:
- Vẽ đường tròn \((A,\, r)\) với \(r = \dfrac{AB}{2};\) vẽ đường tròn \((B, \,r).\)
- Gọi \(C\) là giao điểm của hai cung tròn nằm ở phía trong tờ giấy.
- Trên tia \(BC\) lấy \(D\) sao cho \(BC = CD \Rightarrow AB \bot AD.\)
Thật vậy: \(ΔABD\) có \(AC\) là trung tuyến ứng với \(BD\) (\(BC = CD\)) và \(AC = BC = CD.\)
\(\Rightarrow AC = BD \Rightarrow ΔABD\) vuông tại \(A.\)
