Giải bài 1 trang 178 – SGK môn Đại số và Giải tích 11
Cho hàm số \(y=\cos 2x\).
a) Chứng minh rằng \(\cos 2\left( x+k\pi \right)=\cos 2x\) với mọi số nguyên \(k\). Từ đó vẽ đồ thị \((C )\) của hàm số \(y=\cos 2x\);
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C )\) tại điểm có hoành độ \(x=\dfrac{\pi }{3}\);
c) Tìm tập xác định của hàm số \(z=\sqrt{\dfrac{1-\cos 2x}{1+{{\cos }^{2}}2x}} \).
a) Ta có: \( \cos 2\left( x+k\pi \right)=\cos \left( 2x+k2\pi \right)=\cos 2x,\,\,\,\forall k\in \mathbb Z\)
Hàm số \(y=\cos 2x\) là hàm tuần hoàn với chu kì \( \pi \) và \(y=\cos 2x\) là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số đối xứng qua \( Oy\).
Nên ta vẽ đồ thị \(y=\cos 2x\) trên đoạn \(\left[ 0;\dfrac{\pi }{2} \right]\) rồi lấy đối xứng qua \(Oy\), được đồ thị hàm số trên đoạn \(\left[ \dfrac{-\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\). Cuối cùng tịnh tiến song song với trục \( Ox \) các đoạn độ dài \(\pi\) ta được đồ thị hàm số \(y=\cos 2x\) trên \(\mathbb R\)
b)
\(\begin{align} & y=\cos 2x\Rightarrow y'=-2\sin 2x \\ & \Rightarrow y'\left( {{x}_{0}} \right)=y'\left( \dfrac{\pi }{3} \right)=-2\sin \dfrac{2\pi }{3}=-\sqrt{3} \\ \end{align} \)
Điểm có hoành độ \({{x}_{0}}=\dfrac{\pi }{3}\) có tung độ \({{y}_{0}}=\cos \dfrac{2\pi }{3}=-\dfrac{1}{2}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C )\) tại \(\left( \dfrac{\pi }{3};-\dfrac{1}{2} \right)\) là:
\(y+\dfrac{1}{2}=-\sqrt{3}\left( x-\dfrac{\pi }{3} \right)\Leftrightarrow y=-\sqrt{3}x+\dfrac{\pi \sqrt{3}}{3}-\dfrac{1}{2}\)
c) Hàm số \(z\) xác định khi: \(1-\cos 2x\ge 0\Leftrightarrow \cos 2x\le 1\) đúng với mọi \(x\).
Vậy tập xác định là \(D=\mathbb{R} \)
Ghi nhớ:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại tiếp điểm \((x_0;y_0)\) là
\(y-y_0=f’(x_0)(x-x_0)\)