Giải bài 10 trang 180 – SGK môn Đại số và Giải tích 11
Tính các giới hạn sau:
\(a)\,\lim \dfrac{\left( n+1 \right){{\left( 3-2n \right)}^{2}}}{{{n}^{3}}+1}\)
\(b)\,\lim \left( \dfrac{1}{{{n}^{2}}+1}+\dfrac{2}{{{n}^{2}}+1}+\dfrac{3}{{{n}^{2}}+1}+...+\dfrac{n-1}{{{n}^{2}}+1} \right) \)
\(c)\,\lim \dfrac{\sqrt{4{{n}^{2}}+1}+n}{2n+1}\)
\(d)\,\lim \sqrt{n}\left( \sqrt{n-1}-\sqrt{n} \right)\)
Gợi ý:
Xem lại các giới hạn đặc biệt của dãy số và các quy tắc tính giới hạn.
(Xem sách giao khoa trang 114)
\(\begin{align} & a)\,\lim \dfrac{\left( n+1 \right){{\left( 3-2n \right)}^{2}}}{{{n}^{3}}+1} \\ & =\lim \dfrac{{{n}^{3}}\left( 1+\dfrac{1}{n} \right){{\left( \dfrac{3}{n}-2 \right)}^{2}}}{{{n}^{3}}\left( 1+\dfrac{1}{{{n}^{3}}} \right)}=\lim \dfrac{1.4}{1}=4 \\ & b)\,\lim \left( \dfrac{1}{{{n}^{2}}+1}+\dfrac{2}{{{n}^{2}}+1}+\dfrac{3}{{{n}^{2}}+1}+...+\dfrac{n-1}{{{n}^{2}}+1} \right) \\ & =\lim \dfrac{1+2+3+...+(n-1)}{{{n}^{2}}+1} \\ & =\lim \dfrac{n(n-1)}{2\left( {{n}^{2}}-1 \right)}=\lim \dfrac{{{n}^{2}}\left( 1-\dfrac{1}{n} \right)}{2{{n}^{2}}\left( 1-\dfrac{1}{{{n}^{2}}} \right)}=\dfrac{1}{2} \\ & c)\,\lim \dfrac{\sqrt{4{{n}^{2}}+1}+n}{2n+1} \\ & =\lim \dfrac{n\left( \sqrt{4+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}}+1 \right)}{n\left( 2+\dfrac{1}{n} \right)}=\dfrac{2+1}{2}=\dfrac{3}{2} \\ & d)\,\lim \sqrt{n}\left( \sqrt{n-1}-\sqrt{n} \right) \\ & =\lim \dfrac{\sqrt{n}\left( n-1-n \right)}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} \\ & =\lim \dfrac{-\sqrt{n}}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}} \\ & =\lim \dfrac{-1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}}+1}=\dfrac{-1}{2} \\ \end{align}. \)