Giải bài 17 trang 181 – SGK môn Đại số và Giải tích 11
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
\( a)\,y=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}3x}\)
\(b)\,y=\dfrac{\cos \sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\)
\(c)\,y=\left( 2-{{x}^{2}} \right)\cos x+2x\sin x\)
\( d)y=\dfrac{\sin x-x\cos x}{\cos x+x\sin x}\)
Hướng dẫn:
Xem lại các quy tắc tính đạo hàm của hàm số, hàm hợp và hàm lượng giác.
a)
\(y'=-\dfrac{\left( {{\cos }^{2}}3x \right)'}{{{\cos }^{4}}3x}=-\dfrac{-6\sin 3x\cos 3x}{{{\cos }^{4}}3x}=\dfrac{6\sin 3x}{{{\cos }^{3}}3x} \)
b)
\(\begin{align} & y'=\dfrac{\left( \cos \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)'\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\cos \sqrt{{{x}^{2}}+1}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)'}{{{x}^{2}}+1} \\ & =\dfrac{-\dfrac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\sin \sqrt{{{x}^{2}}+1}.\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\cos \sqrt{{{x}^{2}}+1}.\dfrac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1} \\ & =\dfrac{-x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\sin \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x\cos \sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}}} \\ \end{align} \)
c)
\(\begin{align} & y'=-2x\cos x-\left( 2-{{x}^{2}} \right)\sin x+2\sin x+2x\cos x \\ & =-2x\cos x-2\sin x+{{x}^{2}}\sin x+2\sin x+2x\cos x \\ & ={{x}^{2}}\sin x \\ \end{align} \)
d)
\(\begin{align} & y'=\dfrac{\left( \sin x-x\cos x \right)'\left( \cos x+x\sin x \right)-\left( \sin x-x\cos x \right)\left( \cos x+x\sin x \right)'}{{{\left( \cos x+x\sin x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{\left[ \cos x-\left( \cos x-x\sin x \right) \right]\left( \cos x+x\sin x \right)-\left( \sin x-x\cos x \right)\left( -\sin x+\sin x+x\cos x \right)}{{{\left( \cos x+x\sin x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{x\sin x\cos x+{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x-x\sin x\cos x+{{x}^{2}}{{\cos }^{2}}x}{{{\left( \cos x+x\sin x \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( \cos x+x\sin x \right)}^{2}}} \\ \end{align} \)