Giải bài 16 trang 181 – SGK môn Đại số và Giải tích 11
Giải các phương trình sau:
\(f'\left( x \right)=g\left( x \right)\) với \(f\left( x \right)={{\sin }^{3}}2x\) và \(g\left( x \right)=4\cos 2x-5\sin 4x\);
\(f'\left( x \right)=0 \) với \(f\left( x \right)=20\cos 3x+12cos5x-15\cos 4x \).
a)
Ta có:
\(\begin{aligned} & f'\left( x \right)=3.2.\cos 2x.\sin^2 2x=6\cos 2x.\sin^2 2x \\ & \Rightarrow f'\left( x \right)=g\left( x \right) \\ & \Leftrightarrow 6\cos 2x.{{\sin }^{2}}2x=4\cos 2x-5\sin 4x \\ & \Leftrightarrow 6\cos 2x{{\sin }^{2}}2x-4\cos 2x+10\sin 2x\cos 2x=0 \\ & \Leftrightarrow \cos 2x\left( 3{{\sin }^{2}}2x+5\sin 2x-2 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos 2x=0 \\ & 3{{\sin }^{2}}2x+5\sin 2x-2=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos 2x=0 \\ & \sin 2x=\frac{1}{3} \\ & \sin 2x=-2\,\,(\text{loại}) \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ & 2x=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ & 2x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2} \\ & x=\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}+k\pi \\ & x=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,k\in \mathbb{Z} \\ \end{aligned}\)
b)
\(\begin{aligned} & f'\left( x \right)=-60\sin 3x-60\sin 5x+60\sin 4x \\ & \Rightarrow f'\left( x \right)=0 \\ & \Leftrightarrow -60\sin 3x-60\sin 5x+60\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow \sin 3x+\sin 5x-\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow 2\sin 4x\cos x-\sin 4x=0 \\ & \Leftrightarrow \sin 4x\left( 2\cos x-1 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin 4x=0 \\ & \cos x=\frac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 4x=k\pi \\ & x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\frac{k\pi }{4} \\ & x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,k\in \mathbb{Z} \\ \end{aligned} \)